Proportion :

Les Mathématiques et le nombre d'or

Dans ce qui suit apparaitront, sous le vêtement de l’arithmétique et de l’algèbre, des propriétés du Nombre d’Or qui, pour la plupart, correspond aux propriétés géométriques de ce nombre que nous étudierons dans la sous-partie suivante.

Tout d’abord le nombre d’or est égal à

soit environ Ф = 1, 618033989… correspondant à une proportion comme particulièrement esthétique. Le Nombre d’Or est en premier associé à une grandeur purement arithmétique ; à laquelle on attribue certaines propriétés esthétiques.

A – Extrême et Moyenne Raison

Le Nombre d’Or est avant tout une proportion, définit initialement en géométrie, comme l'unique rapport

a/b

Entre deux longueurs a et b telles que le rapport de la somme des deux longueurs

(a+b)

Sur la plus grande

a

Soit égal à celui de la plus grande

a

Sur la plus petite

b.

C'est à dire lorsque :

(a+b)/a = a/b.

C’est ce qu’Euclide appellera un découpage en « Extrême et Moyenne Raison »

La proportion définie par a et b est dite d' "extrême et moyenne raison" lorsque

a est à b ce que a+b est à a,

Soit : quand

(a+b)/a = a/b.

De plus

(a+b)/a = Ф

donc

a/b = Ф

Nous étudierons cette Extrême et Moyenne Raison avec les relations qui lui correspondent plus tard dans la sous partie « Fractales »

B – La Suite de Fibonacci et le Nombre d’Or

1) La série traditionnelle :

C’est lors des recherches mathématiques sur la prolifération des lapins que Fibonacci définit une suite arithmétique

(ici, c’est une suite de nombres dans laquelle chaque terme précédent permet de déduire le terme suivant).

Ces recherches étaient basées sur les hypothèses simplificatrices suivantes :

- Un premier couple de lapins (1er Génération), soit C1, donne naissance (et uniquement) à un couple de la deuxième génération, soit C12, puis à un couple de la troisième génération, soit C13.

- De même, le couple C12 donne naissance à un couple de la troisième génération (C123) et à un couple de la quatrième génération (C124)

- Le processus ce poursuit indéfiniment.

De là il est possible de voir que les nombre de couples composant les générations successives, en notant les générations : u1 ; u2 ; … ; u(x) ; …, s’établissent de la façon suivante :

1er Génération : u1 = 1

2ème Génération : u2 = 1

3ème Génération : u3 = u2 + u1 = 2

4ème Génération : u4 = u3 + u2 = 3

5ème Génération : u5 = u4 + u3 = 5

6ème Génération : u6 = u5 + u4 = 8

7ème Génération : u7 = u6 + u5 = 13

8ème Génération : u8 = u7 + u6 = 21

9ème Génération : u9 = u8 + u7 = 34

10ème Génération : u10 = u9 + u8 = 55

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Enième Génération : u(x) = u(x-1) + u(x-2)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ceci nous donne une idée de la vitesse de prolifération des lapins. De là Fibonacci a eu l’ingénieuse idée de comparer deux termes consécutifs de cette suite, maintenant cette suite est appelé : « suite de Fibonacci »), ce qui l’a conduit à calculer le rapport :

et à arriver au Nombre d’Or !

Donc si l’on divise un terme de la suite de Fibonacci avec le terme qui le précède dans cette suite nous obtenons le Nombre d’Or.

Exemples : prenons comme deux premiers chiffres : 1 et 1 (suite de Fibonacci)

Reprenons : u(x) = u(x-1) + u(x-2)

Nous avons maintenant 100 valeurs de la suite de Fibonacci, il nous suffit donc de diviser une valeur avec la valeur qui la précède :

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

On peut donc constater que plus les Nombre de la suite de Fibonacci sont grands plus le résultat, d’une division comme celle précédemment utilisé, tend de plus en plus précisément vers le Nombre d’Or.

2) L’ensemble des séries de Fibonacci :

Nous venons de voir ci-dessus la suite de Fibonacci la plus connus et la plus utilisé, mais il existe une infinité de suite de Fibonacci !

Par exemple, au lieu de prendre comme chiffre de départ 1 et 1, nous prenons 3 et 4, cela nous fera :

3+4 = 7

7+4 = 11

11+7 = 18

18+11 = 29

29+18 = 47

47+29 = 76…

ainsi de suite !

Par contre ce qu'il ne diffère pas de la suite de Fibonacci précédente c’est le quotient de deux termes consécutif de cette nouvelle suite nous donne aussi le Nombre d’Or :

Cela nous montre que quelques soit les nombres de départ, une suite de Fibonacci nous donnera toujours le Nombre d’Or.

Etablissons maintenant une série quelconque, en se donnant deux termes consécutif : comme 1 et 2 par exemple :

u1 = α

u2 = β

u3 = u2 + u1 = β + α

u4 = u3 + u2 = 2β + α

u5 = 3β + 2α

u6 = 5β + 3α

u7 = 8β + 5α

… … … …

On remarque déjà que les coefficients multiplicateurs de β et α ne sont, en fait, que les nombres de la suite traditionnelle de Fibonacci !

Prenons un cas particulier ou : α = 1 et β = Ф

On trouve alors des expressions de la sorte :

Ф² = Ф + 1

Ф^3 = 2 Ф +1

Ф^4 = 3 Ф + 2

Ф^5 = 5 Ф + 3

Ф^6 = 8 Ф + 5

… … … …

Ф^x = u(x) Ф + u(x-1)

Avec cette fois ci, u(x) et u(x-1), deux termes de la suite traditionnelle de Fibonacci.

Pour conclure il existe une suite traditionnelle de Fibonacci (commençant par les deux termes 1 et 1), dans laquelle nous obtenons le Nombre d’Or.

Mais il existe aussi une multitude de suite de Fibonacci, sachant qu’il suffit de prendre deux termes de les additionner et ensuite d’additionner au résultat le terme précédent. De plus quelques soit la suite de Fibonacci, on obtient le Nombre d’Or.

C) L’équation du second degré du Nombre d’or

Prenons l’équation : ax² + bx + c = 0 avec : a = 1 ; b = -1 et c = -1 :

ce qui nous donne :

x² - x – 1 = 0

Résolvons le Delta (notons Delta = Δ) pour trouver les racines (notons racines 1 = x1 et racines 2 = x2)

de ce polynôme du degré deux :

Δ = b² - 4ac = 1² - 4*1*(-1) = 1 + 4 = 5 Donc il y a 2 racines car : Δ > 0

Nous avons obtenu deux racines pour ce polynôme, mais comme le nombre d’or est définit initialement en géométrie comme une longueur, le Nombre d’Or ne peut être que positif donc le Nombre d’Or est égal à :

On peut donc en conclure que le nombre d'or est égal à :

qu'il est la racine positive du polynôme du second degré : x² - x - 1 = 0

De plus le Nombre d'Or est associé avec la suite traditionnelle ainsi qu'avec toutes les autres suites du type de Fibonacci comme nous l'avons prouvé et démontré plus haut.

Mais le Nombre d'Or ne possède pas que des propriétés algébrique ainsi qu'arithmétique, il possède aussi des propriétés géométrique qui on un lien direct avec ses propriétés algébrique et arithmétique, que nous allons voir dans la sous partie qui suit.