A - Tout d'abord, Qu'est-ce qu'une fractale ? 

On appelle un objet fractal une structure qui se divise, qui se répète à l'infini.

Prennont par exemple cette figure pour illustré une fractal: 

On voit, que la figure est composé un triangle qui compose des triangles,

qui eux-même compose des triangles et ainsi de suite ...

Cette figure pourra donc être divisée à l'infini 

De même que pour la fractal d'Apollonios qui est composé de rond

 

        B - Le nombre d'or, la suite de Fibonacci et les fractales

 

Il faut savoir que dès Euclide, on trouve le partage d'un segment en " moyenne et extrême raison".

Prennont un segment qu'on partage en 2 parties inégales : un moyen segment (AC) et un petit segment (CB)

De façon à ce que le rapport entre la longeur du moyen segment (AC) et le petit segment (CB), soit égal à la longeur segment d'originie (AB) à celle du moyen segment (AC). Ce rapport et propre au nombre d'or, appeler phi.

 

 

                                                                                         

 

                     1) Les relations

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

             2) Les fractales

Revenons aux fractales :

On sait "quand on ajoute une unité au nombre d'or cela revient à le multiplier par lui même" (relation 4)

s'écrit φ+1 = φ²  

Donc √φ+1 = φ

On remplace dans la racine carré la valeur du nombre φ.                                                                           

Cela donne √1+√1+φ = φ

On réitère cela en remplaçant le nombre φ par nouvelle valeur 

 √1+√1+√1+φ = φ 

Et cela a l'infinie 

 

 

 

 

On retrouve donc un fractale. Puisque cette equation peut se divisé à l'infini.

 

On sait aussi que : "quand on retranche une unité au nombre d'or cela revient à en prendre l'inverse" (relation 5)

s'écrit φ-1 =1/φ ou φ = 1+(1/φ)

on remplace dans la fraction le nombre φ par sa valeur 1+(1/φ)

Cela donne :                                           Ainsi la fraction est continue et infinie. Cette fraction et donc une fractale.