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Le Nombre d'Or et la Géométrie !

A - Le rectangle d'or

Comme nous l’avons vu, le Nombre d’Or possède plusieurs propriétés algébriques.

Mais il possède aussi des propriétés géométriques, qui restent en rapport avec les propriétés algébriques bien sûr.

Ces propriétés géométriques permettent au nombre d’or d’apparaître dans l’architecture, mais aussi la nature, le monde vivant ainsi que dans certains tableaux.

Tout d’abord la base de la géométrie avec le Nombre d’Or et le rectangle :

Il existe « une infinité de rectangles d’or » puisqu'il existe une infinité de nombres.

Je m’explique: un Rectangle d’Or est un rectangle dont sa longueur divisé par sa largeur donne le Nombre d’Or.

Exemple :

-Un rectangle de 34 par 21 (cm, m…) si on divise 34 par 21 : 34 / 21 = 1. 619 soit environ phi.

-Un rectangle de 377 par 233 (cm, m…), le rapport de la longueur avec la largeur est égale à phi : 377 / 233 = 1.61803 soit le Nombre d’Or.

On remarque que les mesures des rectangles choisis sont des nombres faisant partis de la suite de Fibonacci.

Ce n’est pas un hasard : un Rectangle d’Or aura un nombre de la suite de Fibonacci pour longueur et le nombre qui le précède, dans la suite de Fibonacci, pour sa largeur (en restant dans la simplicité).

Par ailleurs, plus les nombres choisis dans cette suite seront grand, plus le rapport entre la longueur et la largeur du rectangle se rapprochera d’une valeur exacte du Nombre d’Or.

Or grâce à la suite de Fibonacci et au Rectangle d’Or, nous pouvons désormais tracer la Spirale d’Or !

C’est en associant plusieurs Rectangles d’Or à la suite et ce, d’une certaine manière, que l’on peut obtenir la spirale :

Le Rectangle d’Or IHKM avec IH = 3 unités

et HK = 2 unités,

on rajoute 3 unités au côté HK

pour former le rectangle d’or HEJI,

et on continue en rajoutant 5 unités au côté EJ

pour former le côté ED = 8 unités

et le Rectangle d’Or HEDG se forme,

puis on ajoute 8 unités au côté GC

pour former le côté DC = 13 unités

pour construire le Rectangle d’Or EDCF

et enfin on ajoute 13 au côté CF

pour avoir CB = 21 unités

et former le Rectangle d’Or DCBA.

le phénomène se répète éternellement.

Après avoir tracé plusieurs rectangles de cette manière, nous traçons plusieurs arcs de cercle partant du premier angle du premier rectangle tracé jusqu’à l’autre angle de l’autre rectangle et ainsi de suite pour former la spirale.

Pour mieux comprendre le système :

Et au final cela nous donne une belle spirale :

Voilà pour les Rectangles d'Or ainsi que leur Spirale !

B - Pour les Triangles d'Or

Un Triangle Isocèle d'Or est un triangle isocèle dont les angles de la base mesures 72° chacun et l’angle du sommet mesure 36°.

Prenons comme unité le cm.

- On le construit en tracant d’abord un côté de ½ cm,

- On trace un autre trait perpendiculaire au premier mesurant deux fois la longueur du premier :

- On trace l’hypoténuse de ce triangle rectangle :

- De là, on reporte la longueur de l’hypoténuse au-dessus de la première longueur :

- Puis on reporte cette dernière longueur de l'autre côté du trait auquel cette longueur est perpendiculaire :

- Et enfin on rassemble les deux plus grandes longueurs, afin de former le Triangle Isocèle d'Or :

Et voilà nous avons enfin notre Triangle Isocèle d’Or.

Sur le même principe que pour les Rectangle d’Rr, nous pouvons aussi tracer la Spirale d’Or avec les Triangles d’Or :

Il suffit de prendre un Triangle Isocèle d’Or, de tracer sa bissectrice en un côté :

Et recommencer cela avec le triangle IDB et ainsi de suite !

Puis tracer la spirale comme ceci :

Voilà comment tracer un Triangle Isocèle d'Or ainsi que la Spirale d'Or qui lui correspond.

Voila les premières propriétés géométrique du Nombre d'Or.

C - Le Pentagonne régulier convexe, étoilé et le Décagone

Dans un premier temps traçons un segment AB d’une longueur quelconque, qui représentera une diagonale du pentagone régulier.

Puis plaçons un point M tel que AB / AM = φ .

AB est un segment partagé en extrême et moyenne raison.

Tracer en A,

la perpendiculaire Ay à AB.

Tracer l’arc de cercle de centre A,

de rayon AB qui coupe Ay en P

Tracer la médiatrice du segment AP (soit la droite perpendiculaire à AP passant par son centre)

Tracer l’arc de cercle de centre A,

de rayon AM,

qui coupe la médiatrice de AP en I

Tracer l’arc de cercle de centre P,

de rayon PI,

qui coupe l’arc de cercle,

de centre A de rayon AB en K

Tracer l’arc de cercle de centre K de rayon KP qui coupe l’arc de cercle de centre A de rayon AM en J

Et enfin relier tous les points entre eux pour former le pentagone régulier.

On a construit le pentagone régulier AJKPI montrant explicitement la relation entre le côté AI = 1
Et la diagonale AP = φ

Ce qui revient à dire que :

Ou plus simplement :

Voilà comment tracer un pentagone régulier grâce au Nombre d’Or ce qui montre que le pentagone régulier est régit par le Nombre d’Or. (tous les pentagones régulier convexe sont régit par le Nombre d'Or)

De plus si on trace les segments PJ et PA cela nous donne le Triangle Isocèle d’Or PJA, ou encore avec les segments :

IK et IJ,
KA et KI,
JP et JI,
AK et AP

Ce qui nous donne respectivement les Triangles Isocèles d’Or :

IKJ,
KAI,
JPI,
Et AKP.

De plus le Décagone régulier est composé de deux Pentagone dont l’un ayant pivoté sur le même centre que le premier. Donc le décagone est lui aussi régit par le Nombre d’Or.

En traçant les diagonales du pentagone régulier ABCDE nous obtenons un pentagone étoilé ACEBD ainsi qu’au centre un nouveau pentagone régulier noté JKLHF.

Puis nous traçons de nouveau les diagonales du pentagone régulier JKLHF et nous obtenons un pentagone régulier au centre noté : MNPGI

Après avoir tracé ces différents pentagones, nous pouvons tracer la quine (ou la Spirale d’Or).

Traçons le segment HG, puis GF, suivis de FE, et ED et enfin DB

Nous nous rendons compte qu’à partir des côtés des pentagones réguliers et étoilés tracés auparavant, nous obtenons la Spirale d’Or.

De plus, le côté :
BD = la coudée
DE = le pied
EF = l’empan
FG = le palme
GH = la paume

Que l’on retrouvera plus en détails par la suite dans la sous partie Architecture.