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La Musique et le Nombre d'Or: Un rythme et une Harmonie

Les mathématiques marquent le domaine musical de manière très diversifiée, car ils peuvent jouer de multiples rôles. 

A. Un rythme

Le nombre d'or a été utilisé jusqu'à notre époque par de nombreux compositeurs afin de structurer leur discours musical. La durée des sections, la disposition des accents, les mouvements dynamiques dans les sections, les rapports existants entre les différentes sections sont déterminés par la « divine proportion ». Nous prendrons ici l'exemple de Béla Bartók, compositeur renommé pour avoir employé le Nombre d'Or à de multiples reprises dans ses compositions.

Béla Bartók, (1881-1945)

compositeur de la 1ère moitié du XXe siècle

Béla Bartok s’impose de nos jours comme l’un des compositeurs les plus importants du vingtième siècle. Les rapports proportionnels de durées ont une place capitale dans sa musique : les structures créées avec ces rapports donnent leur équilibre aux formes. En effet, le compositeur considérait les mathématiques comme étant indispensables et à l’instar de l’architecture, le rapport proportionnel est chez lui un outil de construction. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Erno Lendvai est le premier à démontrer l’utilisation de la section d’or par Bartók en 1971 dans Béla Bartók : An Analysis of His Music. Il y démontre comment l’opération répétée de la section d’or permet de créer une structure pouvant supporter la forme d’une l’œuvre. Lendvai définit la grande section de « positive » et la petite de « négative ».

 

 

 

 

 

Ces segments correspondent à des durées. Si l’on réitère l’opération de section sur

les sections positives et négatives que l’on vient d’obtenir, cela subdivise le segment

de départ en nouveaux segments plus petits.

 

Cette opération de section peut être répétée autant de fois que nécessaire jusqu’à obtenir une répartition des sections satisfaisante : la structure organise alors la durée totale d'une œuvre, mettant en place les parties avec un lien proportionnel.

 

 

Nous allons prendre l'exemple de Musique pour cordes, percussions et célesta (1936).

Le premier mouvement de cette oeuvre est un des plus beaux exemples de construction suivant ce procédé. Si l’on considère les premières mesures, on remarque que les entrées correspondent aux numéros de mesure suivants:

 

Altos 1, 2 : mesure 1                       Violons 3, 4 : mesure 5                        Violoncelles 1, 2 : mesure 8

Violons 2 : mesure 13                      Contrebasses : mesure 18                    Violons 1 : mesure 27

 

Les quatre premières entrées correspondent aux nombres de Fibonacci, bien qu'il manque les nombres 2, 3, 21 et 34.

 

Aux mesures 2 et 3, les altos énoncent les deuxième et troisième phrases du thème, délimitées par un demi-soupir.

 

La mesure 21 marque la fin de l’énonciation du thème aux contrebasses et entame un court épisode avant l’entrée des premiers violons à la mesure 27. A cet endroit commence une transition qui mène à l’entrée de la timbale à la mesure 34.

 

Les mesures 18 et 27 ne sont cependant pas des nombres de Fibonacci. En effet, plus on avance dans la série de Fibonacci, plus il faud laisser du temps à la musique avant d’atteindre le nombre de mesures désiré pour pouvoir enfin y établir un moment important. Bartók avait donc intérêt à trouver un moyen pour insérer ses moments musicaux d’importance secondaire entre les grandes frontières et a donc fait les subdivisions mentionnées plus tôt à l'intérieur des sections délimitées par les nombres de Fibonacci.

Ainsi, de la mesure 13 à la mesure 21, on compte 8 mesures. Si l’on divise ce groupe de 8 mesures avec le rapport de Fibonacci de 5 / 3, on obtient l’entrée des contrebasses à la mesure 18. De même, si l’on considère le passage de la mesure 13 à la mesure 34, on compte 21 mesures, qui, une fois subdivisées à leur tour avec le rapport de Fibonacci de 2 /1, nous donnent l’entrée des premiers violons à la mesure 27.

 

La musique de Béla Bartók est un art qui allie beauté et équilibre. En plus de cette étude sur le rythme de l'oeuvre, il faut savoir que les structures de sons, par exemple, répondent elles aussi aux préoccupations du compositeur vis-à-vis de la "divine proportion". Autrement dit, les intervalles mélodiques et harmoniques de la musique de Béla Bartók sont eux-mêmes choisis à partir des nombres de Fibonacci.

 

Section d’or (Voir Moyenne et Extrême raisons, partie Algèbre)

« La musique est un exercice d’arithmétique secrète, et celui qui s’y livre ignore qu’il manie des nombres »

citation de Leibnitz que Bartok n’aurait sûrement pas refutée.

B. Une Harmonie

On mesure l’intervalle séparant 2 notes de musique en calculant le rapport des fréquences caractérisant respectivement la note la plus aiguë et la note la plus grave. La fréquence étant le nombre de vibration par seconde de la note. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ce tableau représente les fréquences pour lesquelles le rapport de l'intervalle est constitué de 2 termes consécutifs de la suite de Fibonacci.

Curieusement, la cadence Tonique-Dominante (ici DO - SOL) est appelée la Cadence parfaite.

 

 

 

On retrouve également le Nombre d'Or en observant le clavier d'un piano:

 

Conclusion

Pour conclure cette partie, nous allons faire une petite comparaison entre la Musique et l'Architecture en lien avec le nombre d'or.

 

                                Musique                                                                     Architecture

       Intervalle (accord de 2 notes, intervalle de durée)        -->            Rapport (de 2 longueurs, surfaces…)

          Accord (combinaison de 3 ou plusieurs notes)             -->                         Proportion

                               Harmonie                                            -->                           Symétrie

 

On peut peut donc affirmer que la Musique, au même titre que l'Architecture, est un art utilisant le Nombre d'Or comme proportion et mesure d'Harmonie. De nombreux compositeurs autre que Béla Bartók l'on utilisé, comme notamment Roland de Lassus, Richard Wagner, pour les moins renommés et Claude Debussy, Maurice Ravel, J.S. Bach, Beethoven pour les plus connus. Evidemment, l'emploi du Nombre d'Or reste difficile à prouver.

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