Site et TPE réalisés par Clara MAHIET, Maël GALLIOT & Maxime HODIER, du lycée polyvalent Geneviève De Gaulle Anthonioz de Milhaud (30).
Le Nombre d'Or
L'architecture
A - Les unités de mesures chez les bâtisseurs Romains
Selon des valeurs moyennes du corps facile à contrôler les romaines choisissaient des parties du corps pour mesurer, ainsi il utilisaient : la paume, le palme, empan , le pied , et la coudée
Si on prend l'empan pour 1, unité de mesure, alors :
La paume = 7,64 cm ce qui équivaut à 1/ φ² (20/(φ)² = 7,64)
Le palme = 12,36 cm ce qui équivaut à 1/φ (20/φ = 12,36)
L'empan = 20 cm ce qui équivaut à 1 unité de mesure
Le pied = 32,26 cm ce qui équivaut à φ*1u (φ*20=32,36)
La coudée royale = 52,36 cm ce qui équivaut à φ²*1u (φ²*20 =52,36)
De plus la coudée royale possède aussi un rapport avec π. En effet π/6 =0,5236= la coudée en m
Avec ces propriétés on peut donc retrouver beaucoup de rapport avec φ tels que :
Coudée / pied =φ
Pied / empan =φ
Empan/ palme =φ
Palme / paume=φ
Mais l'évolution de la morphologie humaine fait que la plus part de ces valeurs ne sont plus les valeurs moyennes des proportions humaines.
On peut donc retrouver ces mesures dans le pentagone étoilé vu qu'il est aussi lié à φ
On note l'empan = 1 unité de mesure
On sait que le pentagone est lié au Nombre d'Or par son rapport entre ses diagonales (AC) et ses côtés (AB)
On note sur la figure ci côté que le pentagone régulier étoilé ABCDE, on prolonge les diagonales BD jusqu'à x et EC jusqu'à y en se coupant en F.
Les diagonales EC et AD ainsi que BD et AC se coupes respectivement en G et H.
On trace une droite parallèle à GH passent pas J et I qui coupe respectivement BD et EC
IJ = 1/φ² soit la paume
(image du livre de ROBERT VINCENT « Géométrie du Nombre d'Or »)
On sait que 1 coté du pentagone soit DC = 1/φ, qui est le palme.
On note que sur les droite Ey que FI = CK ce qui nous amène à la parallèle KL qui est l'empan soit 1 unité de
De plus FD = LN ce qui nous amène a la parallèle de NM par rapport à DC, alors NM =φ soit le pied.
Enfin grâce au dernier coup de compas en partent de M (avec pour rayon un côté), on trace la parallèle QP qui est égale à φ² soit la coudée.
L'ensemble de c'est 5 éléments est appelée la quine des bâtisseurs
On peut retrouver cette quine à partir du rectangle d'or :
On trace un rectangle d'or de côté φ²*1u. En prennent P comme centre, on bascule le rectangle CBEP on obtient donc un côté valent φ*1u et ainsi de suite.
Il existe de nombreux moyen de retrouver ces mesures romaines avec les tracés des spirales ou du pentagone …
B - Les pyramides de Kheops et du Louvre
Tout d’abord il faut savoir que les Egyptiens ne mesurent pas en mètres mais en coudées royale.
Une coudée royale = 0.52 mètres
De plus dans la construction de pyramides, les Egyptiens utilisent très fréquemment une pente, pour les faces, de comme la pyramide de Khéops construit par les Egyptiens de l’Antiquité, formant une pyramide à base carré.
La pyramide de Khéops fut édifiée, il y a plus de 4 500 ans, sous la IVe dynastie, au centre du complexe funéraire de Khéops se situant à Gizeh en Egypte, en tant que tombeau du pharaon Khéops.
En effet, la pyramide de Khéops, dont ses dimensions sont (on note que une coudée royal = 0,52m) :
- 280 coudées royale soit 145.6 mètres pour la hauteur du sommet
au centre de sa base carré
(h = 280x0.52 = 145.6m)
- 440 coudées soit 228.8 mètres de côté de sa base
(c = 440x0.52 = 228.8m)
- 220 coudées soit 114.4 mètres pour la moitié du côté de sa base
= 220x0.52 = 114.4m
Elle possède une pente pour ses faces de car :
Ce rapport entraine un autre rapport :
Apothème est le rapport de l’altitude d’une face au demi côté de la base.
Ce nouveau rapport (apothème) a un lien direct avec le Nombre d’Or qui est :
Si on met sous racine carré, la somme du carré de la hauteur de la pyramide (h²)
avec le carré de la moitié du côté de la base
et que l’on divise cette racine carré par la moitié du côté de la base de la pyramide :
on trouve 1.61859 soit environ 1.61803 qui est égale au Nombre d’Or.
Ecrit de façon mathématique cela nous donne :
De plus le rapport de la pente qui est égal à , calculé grâce à la hauteur de la pyramide et à la moitié
du côté de sa base, est environ égal à la racine carré du Nombre d’Or.
Cela nous donne :
Et, comme on a pu le remarquer, le rapport de la pente est une fractale car les décimales de se répète à l’infini.
( = 1.27272727……)
Voilà comment le nombre d'or apparait dans les pyramides et plus exactement dans la pyramide de Khéops.
Mais est-elle la seule pyramide régit par le Nombre d’Or que l’on connaît ?
Non certainement pas, il existe d’autres pyramides qui sont construite en suivant le partage d’Euclide, de moyenne et extrême raison, comme la Pyramide du Louvre, située au cœur de la cour de Napoléon au musée du Louvre à Paris, où se situe le hall d’accueil.
Et oui, cette belle pyramide de verre construite par l’architecte sino-américain Leoh Ming Pei sous la demande du président de la République, en 1981, François Mitterrand.
Pour vous le démontrer, nous allons refaire les mêmes calculs que pour la pyramide de Khéops :
Les dimensions de la pyramide du Louvre sont :
- Hauteur : h = 21.0 m
- Côté : c = 33.0 m
- Demi-côté : c/2 = 16.5 m
Donc :
Ce résultat nous montre que la pyramide du Louvre est aussi régit par le Nombre d’Or.
Regardons maintenant si sa pente est égale à la racine carrée du Nombre d’Or soit par convention égal à
La pyramide du Louvre a une pente égale à la pente de la pyramide de Khéops soit , ce qui est logique
car on avait prouvé auparavant que le Nombre d’Or apparait dans la pyramide du Louvre.
Mais puisque le Nombre d'Or apparait dans la pyramide de Khéops ainsi que dans la pyramide du Louvre, alors, la pyramide du Louvre est une réduction de la pyramide de Khéops.
Regardons maintenant de combien la pyramide du Louvre est-elle plus petite :
Pour cela nous devons calculer le rapport entre une des dimensions de la pyramide de Khéops par la même dimension de la pyramide du Louvre.
Ce qui donne :
Pour la hauteur :
Pour le coté :
Donc 6.93 est le facteur de réduction de la pyramide du Louvre par rapport à la pyramide de Khéops.
Ce qui fait que la pyramide du Louvre est 6.93 fois plus petite que la pyramide de Khéops.
Pour conclure on peut voir que le Nombre d’Or apparait dans plusieurs époques différentes et variées de l’histoire et de pays ainsi que dans tous types de monuments architecturaux comme ici dans les pyramides de Khéops et du Louvre.